「うち」も「あいだ」もともに、前後が限定された（「うち」の場合は「前」が限定されていない場合も考えられますが）時間を指すという意味では共通しています。ご質問の問題を考えるにあたって、まず「うち」と「あいだ」に見られる文法的な違いというものを考慮する必要があります。

「あいだ」のほうは、「～する間～」と「～する間に～」という両方の言い方が可能ですが、「うち」は「～するうち～」という言い方ができません（「～するに従って」という意味では可能ですが）。

この違いは、「うち」と「あいだ」が用いられる文の意味にも反映されています。

きみを待っている間、本を読んでいた。

「あいだ」のほうはこのように、格助詞「に」を伴わない形で用いることができますから、前後が限定された時間に動作なり出来事なりが生起したことを単純に表す文で用いられます。

一方、格助詞「に」を伴った場合には、「その時間に限って……」というニュアンスが生じますので、

きみが留守の あいだに／うちに 掃除を済ませておいた。

のように、わざわざその時間を選んで動作をおこなったという文において用いられるのが自然です。

「は」を用いた「間は」「うちは」の場合は、「は」が対比の意味をもちますので、「他の時ではなく、この時に限って……」という意味が強く感じられます。